L'étude de ces systèmes, sous de multiples angles, fut le point central de mes recherches de doctorat. Ici, partiellement dissipatif signifie que l'on considère dans nos équations des formes de dissipation/d'amortissement qui n'agissent seulement sur certaines composantes du système. Il est bien connu, depuis les travaux des années 80' de Shizuta et Kawashima, que sous certaines conditions (suffisantes mais non nécessaires) cet amortissement partiel est suffisant pour assurer l'existence de solutions globales en temps émanant de petites perturbations d'un état d'équilibre.

L'idée principale derrière cela est qu'il est parfois possible de récupérer de l'amortissement pour les composantes non amorties via le couplage entre la partie hyperbolique et la partie amortie du système. Les conditions assurant cela sont en lien direct avec la théorie de l'hypoellipticité d'Hörmander.

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Mes premiers travaux ont consisté en l'étude de ces systèmes dans à cadre à régularité critique. C'est à dire que nous avons cherchons à obtenir un résultat d'existence de solution unique et globale en temps, en supposant le moins de conditions possible sur les données initiales. Ce type de résultat est atteignable grâce à la théorie de Littlewood-Paley et s'inscrit dans la lignée des résultats obtenu pour l'équation de Navier-Stokes compressible par Raphäel Danchin.

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Pour les systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs, une analyse spectrale nous montre que le comportement des basses et hautes fréquences est très différent et qu'il est donc essentiel de les traiter séparément. En effet, les hautes fréquences de la solution sont purement amorties alors qu'une partie des basses fréquences se comporte plutôt comme les solutions de l'équation de la chaleur et l'autre est amortie. Nous avons donc considérer des espaces de Besov hybrides ayant des indices de régularité dans les deux différents régimes fréquentiels.

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Pour traiter les hautes fréquences nous nous sommes inspiré du récent papier de Karine Beauchard et Enrique Zuazua, où les auteurs font le lien entre la condition de Kalman en théorie du contrôle et la condition de Shizuta et Kawashima, et construisent des fonctionnelles de Lyapunov généralisée, en lien avec la théorie de l'hypocoercivité de Cédric Villani, permettant de récupérer de la décroissance sur les composantes non-directement amortie.

Et en basses fréquences, nous avons diagonalisé le système, à des termes d'ordres inférieurs près, et séparer l'étude du système en deux sous-système, une partie parabolique et une partie amortie.

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Cette dernière décomposition nous a permis de mettre en lumière l'aspect essentiel de la prise en compte d'un mode amortie en basses fréquences lorsque l'on veut prouver l'existence de solution dans un cadre homogène mais aussi lorsqu'on considère la limite de relaxation de tel système. Voici quelques exemples de systèmes pour lesquels nous avons pu améliorer l'optimalité de leur caractère globalement bien posé mais aussi justifier leur limite de relaxation associée, tout en exhibant un taux de convergence explicite :

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• Le système d'Euler compressible amortie vers l'équation des milieux poreux, (limite de relaxation diffusive)

• Un système multi-fluide de Baer-Nunziato vers le système de Kapila, (relaxation des pressions)

• Le système hyperbolique-parabolique de chemotaxis vers le système de Keller-Segel​ (limite de relaxation diffusive)

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