Chercheur en mathématiques spécialisé dans le domaine des équations aux dérivées partielles.
Depuis Octobre 2022 je suis en post-doctorat à l'Université FAU-Erlangen-Nuremberg sous la supervision de Enrique Zuazua.
De Janvier 2022 à Septembre 2022 j'ai été postdoc à l'université de Deusto-Bilbao sous la direction de Enrique Zuazua.
En Décembre 2021, j'ai soutenu ma thèse à l'Université Paris-Est Créteil encadré par Raphaël Danchin.
Contact : timothee[dot]crin-barat[at]fau.de

Publications
(Mis à jour 04/2023)
Articles publiés
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"Partially dissipative one-dimensional hyperbolic systems in the critical regularity setting, and applications" en collaboration avec Raphaël Danchin. Pure and Applied Analysis (2022).
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"Partially dissipative hyperbolic systems in the critical regularity setting : the multi-dimensional case" en collaboration avec Raphaël Danchin. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (2022).
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"Global existence for partially dissipative hyperbolic systems in the Lp framework, and relaxation limit" en collaboration avec Raphaël Danchin. Mathematische Annalen (2022).
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"Relaxation limit for a damped one-velocity Baer-Nunziato model to a Kapila model" en collaboration avec Cosmin Burtea et Jin Tan. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences (M3AS) 2023.
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"Diffusive relaxation limit of the multi-dimensional hyperbolic Jin-Xin system" en collaboration avec Ling-Yun Shou. Journal of Differential equations 2023.
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"The hyperbolic-parabolic chemotaxis system modelling vasculogenesis: global dynamics and relaxation limit" en collaboration avec Qingyou He et Ling-Yun Shou. SIAM Journal on mathematical analysis 2023
Préprints
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"On the decay of one-dimension locally and partially dissipated hyperbolic systems" en collaboration avec Nicola de Nitti et Enrique Zuazua.
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"Relaxation approximation and asymptotic stability of stratified solutions to the IPM equation" en collaboration avec Roberta Bianchini et Marius Paicu. 2022
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"Relaxation limits for compressible one-velocity Baer-Nunziato multi-fluid systems : the overdamping case" en collaboration avec Ling-Yun Shou et Jin Tan. 2022
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"Large time asymptotics for partially dissipative hyperbolic systems without Fourier analysis: application to the nonlinearly damped p-system" en collaboration avec Ling-Yun Shou et Enrique Zuazua. 2023
Thèse
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Thèse : "Systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs et applications à la mécanique des fluides" encadré par Raphaël Danchin. Université Paris-Est-Créteil, Ecole doctoral MSTIC.
Présentations
Exposés à venir
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06/23 Conférence à l'Université de Nanjing, Chine
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08/11/23 Conférence à Sendai International Center, Japon
Exposés
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22/03/23 Journées Jeunes EDPistes 2023 (Slides)
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27/03/23 Séminaire d'Analyse Appliquée d'Amiens (Slides)
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08/02/23 Séminaire d’analyse, Institut Mathématique de Bordeaux (Slides)
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01/02/23 Séminaire d’analyse, Université de Paris IMJ-PRG (Slides)
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05/12/22 MathFlows, CIRM (Slides)
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01/09/22, IX Partial differential equations, optimal designs and numerics, Benasque. (Slides)
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26/08/22, IX Partial differential equations, optimal designs and numerics, Benasque (Slides)
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20/06/2022. Workshop “Recent Advances in Analysis and Control”. FAU Erlangen-Nuremberg (Slides)
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26/04/2022. Tongji University Seminar: Partially dissipative hyperbolic systems and relaxation limit. Shanghai, China. (Slides)
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05/04/2022. Short talk: Partially dissipative hyperbolic systems, results and perspectives. CIRM -Jean-Morlet Chair 2022 - Research School: Mathematical Advances in Geophysical Flows. (Slides)
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19/01/2022. CCM Seminar: Partially dissipative hyperbolic systems, results and perspectives. Fundacion Deusto. (Slides)
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13/12/2021 Soutenance de thèse. Université Paris-Est Créteil (Slides)
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19/06/2021. Global well-posedness for the compressible Euler equations in Lp spaces. International Workshop on Recent Advances in Nonlinear PDE. Nanjing University, China. (Slides)
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27/03/2020. Poster session at ”Journées jeunes edpistes 2020”, France. (Poster)
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12/11/2019 and 19.11.2019. Littlewood-Paley theory and partially dissipative hyperbolic systems. PhD seminar, UPEC, France
C.V.
Post-doctorats
Université Friedrich-Alexander (FAU) -
Erlangen-Nuremberg
Oct 2022 - Sep 2023
Supervisé par Enrique Zuazua au sein de ”Chair for Dynamics, Control and
Numerics – Alexander von Humboldt Professorship”
Université de Deusto-Bilbao
Jan-Sep 2022
Postodoctorat encadré par Enrique Zuazua.
Chair of Computational Mathematics
ERC DYCON (grant agreement NO: 694126-DyCon)
Doctorat en mathématiques
Université Paris-Est Créteil
2017-2021
Doctorat en mathématiques sous la supervision de Raphaël Danchin. Ecole doctorale MSTIC.
Sujet : Systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs et applications à la mécanique des fluides. Soutenu le 13 Décembre 2021 devant le jury composé de :
Karine Beauchard (rapportrice)
Jean-François Coulombel (rapporteur)
Sylvie Benzoni-Gavage
Didier Bresch
Roberto Natalini
Denis Serre (président du jury)
Raphaël Danchin
Master 2 de mathématiques
Sorbonne Université
2016-2017
Master 2 de mathématiques de la modélisation. Spécialité analyse numérique et équations aux dérivées partielles :
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L'équation de Navier-Stokes incompressible
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Théorie de Littlewood-Paley
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Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints
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Théorie du contrôle en dimension finie et infinie
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Equations elliptiques
Enseignements
Assistant de recherche (32h)
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TD de M1 : Probabilités et processus stochastiques.
2022-2023
FAU Erlangen-Nuremberg
ATER (177h)
2020-2021
Université Paris-Est Créteil
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Cours-TD de Mathématiques expérimentales
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TD de L1 Calculus 2
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TD de L2 Math pour la physique
Monitorat (65h/an)
2018-2020
Université Paris-Est Créteil
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TD de L2 Compléments d’Algèbre et d’Analyse
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TD de L1 Analyse 2
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TD de L2 Math pour la physique
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TD de L1 Outils mathématique pour la physique
Thèmes de recherche principaux
Analyse des équations aux dérivées partielles
• Solutions fortes à régularité critique
• Système de Navier-Stokes compressible et système d’Euler compressible amorti
• Systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs
• Hypocoercivité en mécanique des fluides, condition de Hörmander
• Approximation hyperbolique de type Jin-Xin
• Systèmes multi-fluides ompressible de type Baer-Nunziato
• Système de chemotaxis, modèle de Keller-Segel
• Système de type milieux poreux
Analyse Harmonique
• Théorie de Littlewood-Paley
• Espace de Besov isotrope et anisotrope
• Estimation de paraproduit
Analyse Numérique
• Construction de schémas numériques préservant l’hypocoercivité
Les systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs
L'étude de ces systèmes, sous de multiples angles, fut le point central de mes recherches de doctorat. Ici, partiellement dissipatif signifie que l'on considère dans nos équations des formes de dissipation/d'amortissement qui n'agissent seulement sur certaines composantes du système. Il est bien connu, depuis les travaux des années 80' de Shizuta et Kawashima, que sous certaines conditions (suffisantes mais non nécessaires) cet amortissement partiel est suffisant pour assurer l'existence de solutions globales en temps émanant de petites perturbations d'un état d'équilibre.
L'idée principale derrière cela est qu'il est parfois possible de récupérer de l'amortissement pour les composantes non amorties via le couplage entre la partie hyperbolique et la partie amortie du système. Les conditions assurant cela sont en lien direct avec la théorie de l'hypoellipticité d'Hörmander.
Mes premiers travaux ont consisté en l'étude de ces systèmes dans à cadre à régularité critique. C'est à dire que nous avons cherchons à obtenir un résultat d'existence de solution unique et globale en temps, en supposant le moins de conditions possible sur les données initiales. Ce type de résultat est atteignable grâce à la théorie de Littlewood-Paley et s'inscrit dans la lignée des résultats obtenu pour l'équation de Navier-Stokes compressible par Raphäel Danchin.
Pour les systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs, une analyse spectrale nous montre que le comportement des basses et hautes fréquences est très différent et qu'il est donc essentiel de les traiter séparément. En effet, les hautes fréquences de la solution sont purement amorties alors qu'une partie des basses fréquences se comporte plutôt comme les solutions de l'équation de la chaleur et l'autre est amortie. Nous avons donc considérer des espaces de Besov hybrides ayant des indices de régularité dans les deux différents régimes fréquentiels.
Pour traiter les hautes fréquences nous nous sommes inspiré du récent papier de Karine Beauchard et Enrique Zuazua, où les auteurs font le lien entre la condition de Kalman en théorie du contrôle et la condition de Shizuta et Kawashima, et construisent des fonctionnelles de Lyapunov généralisée, en lien avec la théorie de l'hypocoercivité de Cédric Villani, permettant de récupérer de la décroissance sur les composantes non-directement amortie.
Et en basses fréquences, nous avons diagonalisé le système, à des termes d'ordres inférieurs près, et séparer l'étude du système en deux sous-système, une partie parabolique et une partie amortie.
Cette dernière décomposition nous a permis de mettre en lumière l'aspect essentiel de la prise en compte d'un mode amortie en basses fréquences lorsque l'on veut prouver l'existence de solution dans un cadre homogène mais aussi lorsqu'on considère la limite de relaxation de tel système. Voici quelques exemples de systèmes pour lesquels nous avons pu améliorer l'optimalité de leur caractère globalement bien posé mais aussi justifier leur limite de relaxation associée, tout en exhibant un taux de convergence explicite, :
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Le système d'Euler compressible amortie vers l'équation des milieux poreux, (limite de relaxation diffusive)
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Un système multi-fluide de Baer-Nunziato vers le système de Kapila, (relaxation des pressions)
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Le système hyperbolique-parabolique de chemotaxis vers le système de Keller-Segel (limite de relaxation diffusive)